Psicotécnicos

Fracciones

Casi siempre es más rápido pensar en fracciones que en decimales. Y comparar dos fracciones no requiere calcularlas.

Qué mide

El manejo de partes de un todo: comparar, operar y traducir entre fracciones, decimales y porcentajes. Aparece en repartos, mezclas y consumos.

Por qué las fracciones son el cuello de botella

De todos los contenidos del bloque numérico, este es el que mejor predice el rendimiento en el resto, y no es una impresión de preparador. Siegler, Duncan, Davis-Kean y colaboradores publicaron en 2012 en Psychological Science un análisis de dos muestras longitudinales en el que el conocimiento de fracciones y de división en primaria predecía de forma única el rendimiento matemático cinco o seis años después, controlando el resto de conocimientos matemáticos, la capacidad intelectual general, la memoria de trabajo y el nivel socioeconómico familiar.

La lectura práctica es directa: si te fallan los porcentajes, las proporciones y los problemas de reparto, la causa suele estar aquí. Reparar las fracciones arregla varios sitios a la vez.

Las equivalencias que hay que tener automatizadas

Convertir mentalmente entre los tres formatos ahorra casi todo el trabajo. Con estas seis se cubre lo habitual:

Con seis se sobrevive; con doce no se piensa. Estas completan el repertorio, y conviene saberlas en los dos sentidos, porque los enunciados alternan formatos dentro del mismo problema:

Comparar sin calcular: productos cruzados

Para saber cuál de dos fracciones es mayor no hace falta convertirlas: se multiplica en cruz y se comparan los productos.

Conviene saber por qué es exacto. Comparar a/b con c/d, con denominadores positivos, equivale a multiplicar ambos lados por b·d, que al ser positivo no altera el sentido de la desigualdad: queda a·d frente a c·b. No es un truco, es la misma comparación escrita sin denominadores.

Otras tres formas de comparar

Los productos cruzados son el método general, pero hay tres situaciones en las que la respuesta se ve sin multiplicar nada.

• Mismo numerador: es mayor la de denominador menor. 3/7 es mayor que 3/8 sin operar.
• Referencia a 1/2: una fracción supera a un medio cuando el numerador pasa de la mitad del denominador. 9/20 se queda corta —la mitad de 20 es 10— y 11/21 la supera, así que 11/21 es mayor sin más cálculo.
• Distancia a la unidad: con fracciones próximas a 1, mira lo que falta. A 7/8 le falta 1/8; a 11/12 le falta 1/12, que es menor, así que la mayor es 11/12.

Simplificar: reglas de divisibilidad

Simplificar antes de operar es el consejo más repetido y el peor ejecutado, porque casi nadie tiene automatizado cómo detectar un divisor común. Estas reglas se aplican de un vistazo.

La del 3 funciona porque 10 deja resto 1 al dividirlo entre 3, de modo que cualquier número es congruente con la suma de sus cifras; la del 11, porque 10 deja resto −1, y de ahí la alternancia de signos.

Aplicado: simplificar 138/184. Ambos son pares, así que quedan 69 y 92; 69 = 3 × 23 y 92 = 4 × 23, luego la fracción es 3/4. Una comparación que parecía exigir división decimal se resuelve reconociendo un factor común.

Operar: el orden que evita errores

Cuatro reglas cubren todo lo que se pide, y el error casi siempre consiste en aplicar la de una operación en otra:

1. Sumar y restar exige denominador común: es la única de las cuatro donde los denominadores no se tocan por separado, de ahí que sumarlos sea el fallo clásico.
2. Multiplicar es directo: numerador por numerador y denominador por denominador, sin denominador común.
3. Dividir es multiplicar por la inversa: 3/4 : 2/5 = 15/8.
4. «De» significa multiplicar: los tres cuartos de dos tercios son 3/4 × 2/3 = 1/2. Esa equivalencia desactiva la mitad de los enunciados de reparto.

El error de las fracciones sucesivas

Es el mismo mecanismo que en porcentajes. Si se consume un tercio de un depósito y después la mitad de lo que queda, el total consumido no es "un tercio más una mitad", sino un tercio más la mitad de los dos tercios restantes: dos tercios.

Ejemplo resuelto

Una tarea se reparte entre tres personas: la primera hace 2/5, la segunda 1/3 del total y la tercera el resto. Denominador común, quince: 2/5 = 6/15 y 1/3 = 5/15, que suman 11/15. La tercera hace 4/15, algo más de un 26 %.

Un segundo ejemplo: ritmos de trabajo

Un operario tarda 6 horas en una tarea y otro tarda 4 en la misma. ¿Cuánto tardan juntos?

La respuesta intuitiva —la media, cinco horas— es imposible: juntos no pueden tardar más que el más rápido por su cuenta. La vía correcta es pasar de tiempos a ritmos, que sí se suman: 1/6 + 1/4 = 5/12 de tarea por hora, y el tiempo total es el inverso, 12/5 de hora, es decir 2 horas y 24 minutos.

El paso decisivo es conceptual: los tiempos no se suman, los ritmos sí. Es la estructura de los problemas de grifos, máquinas y cuadrillas, y explica que la respuesta siempre sea menor que el menor de los tiempos dados —lo que permite descartar antes de calcular—.

Trampas frecuentes

• Aplicar fracciones sucesivas sobre el total y no sobre el resto.
• Sumar denominadores al sumar fracciones.
• Confundir la parte con el resto: se pregunta lo que queda y se responde lo consumido.
• No simplificar y operar con números grandes innecesarios.
• Promediar tiempos en los problemas de ritmo, en lugar de sumar ritmos e invertir.
• Buscar denominador común para multiplicar: solo hace falta para sumar y restar.
• Redondear 1/3 a 33 % y arrastrar el error en cadenas largas.

Gestión del tiempo

Simplifica antes de operar: reduce el tamaño de los números y el riesgo de error. Y usa productos cruzados en toda comparación, más rápido que convertir.

Cómo practicar

Automatiza primero la tabla de equivalencias y después las comparaciones con productos cruzados: son dos habilidades pequeñas con un retorno desproporcionado en el bloque numérico.

Una progresión de tres semanas: la primera, solo conversión en los dos sentidos, en tandas de dos minutos; la segunda, comparación de pares eligiendo el método más corto de los cuatro —cruzado, mismo numerador, referencia a 1/2, distancia a 1— y anotando cuál has usado, que es lo que convierte cuatro técnicas sueltas en un criterio de selección; la tercera, problemas completos con reloj. Con 80 preguntas en 35 minutos la media es de 26,25 segundos por ítem, y una comparación de fracciones debería quedar en la mitad. Trabaja también el cálculo mental: un producto cruzado mal calculado invierte la respuesta entera.

Preguntas frecuentes

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