Psicotécnicos

Proporciones y regla de tres

Todo el ejercicio se decide en una sola pregunta: si una magnitud crece, ¿la otra crece o decrece? Acertar ahí resuelve el ítem.

Qué mide

La comprensión de cómo covarían dos magnitudes. Es el fundamento de los problemas de ritmo, velocidad, consumo y reparto, de los más frecuentes del bloque.

También es el fundamento de los porcentajes: Parker y Leinhardt (1995) los describieron en Review of Educational Research como «una proporción privilegiada», con la base fijada en cien. Entrenar proporcionalidad mejora dos formatos a la vez.

La distinción que lo decide todo

• Proporcionalidad directa: si una magnitud aumenta, la otra aumenta en la misma proporción. Más kilos, más precio.
• Proporcionalidad inversa: si una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción. Más trabajadores, menos tiempo.

La ilusión de linealidad

Hay un error anterior a elegir entre directa e inversa, y más grave: dar por supuesto que las magnitudes son proporcionales cuando no lo son. La didáctica de las matemáticas lo documenta con nombre propio, la ilusión de linealidad. De Bock, Van Dooren, Janssens y Verschaffel describieron en 2002, en Educational Studies in Mathematics, una tendencia «profundamente arraigada y casi irresistible» a aplicar modelos lineales a longitudes, áreas y volúmenes de figuras semejantes, donde no valen.

El caso canónico es fácil de comprobar: si una figura se amplía al triple, sus lados se multiplican por 3, pero su superficie por 9, porque el área depende del cuadrado de la escala. La regla de tres directa daría el triple, y ese número está siempre entre las alternativas. Con volúmenes el factor es 27.

La regla de tres

En la directa, se multiplica en cruz. En la inversa, se multiplican los términos de la misma línea. Es la única diferencia operativa, y confundirla es exactamente lo que produce el distractor.

Conviene ver de dónde sale esa asimetría, porque entonces deja de ser una regla memorizada. En la directa lo constante es el cociente, a/b = c/d, y multiplicando ambos lados por b·d se obtiene a·d = b·c, que es la multiplicación en cruz. En la inversa lo constante es el producto, a·b = c·d. Con esa frase no hace falta recordar hacia dónde va la cruz.

Los cinco tipos de ítem

Casi todo lo que aparece bajo la etiqueta de proporcionalidad responde a uno de estos cinco moldes. Reconocerlo en los primeros segundos permite resolver en veinte.

Ejemplo resuelto: proporcionalidad inversa

Seis personas tardan 12 días en completar un trabajo. ¿Cuánto tardarían nueve personas al mismo ritmo?

Pregunta previa: más personas, ¿más o menos días? Menos: es inversa. Por tanto 6 × 12 = 9 × x, de donde x = 8 días. Con la directa habrían salido 18, y ese número estará entre las alternativas.

Regla de tres compuesta

Con tres magnitudes, la regla de tres clásica se vuelve engorrosa y propensa al error de sentido. La vía segura es reducir todo a una sola unidad de trabajo. Cinco agentes revisan un archivo 6 horas diarias durante 8 días: ¿cuántos días necesitan cuatro agentes a 5 horas diarias?

El trabajo total es una cantidad fija de horas-persona: 5 × 6 × 8 = 240. El nuevo equipo aporta 4 × 5 = 20 al día, así que necesita 240 ÷ 20 = 12 días. No ha hecho falta decidir el sentido de ninguna proporcionalidad. Y la comprobación de plausibilidad es inmediata: con menos gente y menos horas, los días tienen que subir por encima de 8, lo que descarta alternativas antes de operar.

Repartos proporcionales

El procedimiento es constante: sumar las partes, dividir el total entre esa suma para obtener el valor de una parte y multiplicar por las partes de cada uno. Para repartir 600 € en partes proporcionales a 2, 3 y 5: las partes suman 10, cada una vale 60 €, y corresponden 120, 180 y 300 €.

El reparto inversamente proporcional

La variante que más se falla. Repartir 660 € en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 6 no es repartir al revés: es repartir de forma proporcional a los inversos, 1/2, 1/3 y 1/6. Reducidos a denominador común 6 quedan partes de 3, 2 y 1, que suman 6; cada parte vale 110 € y el reparto es de 330, 220 y 110 €. A quien tenía el índice más pequeño le corresponde la cantidad mayor: eso significa «inversamente».

Mezclas y medias ponderadas

Un molde frecuente con un distractor garantizado. Se mezclan 30 kg a 4 €/kg con 20 kg a 9 €/kg: ¿precio del kilo de la mezcla?

La respuesta intuitiva, la media de los dos precios, es incorrecta porque hay más cantidad del barato. La vía correcta suma valores y cantidades por separado: 120 € y 180 €, en total 300 € por 50 kg, es decir 6 €/kg. La media simple solo coincide con la ponderada cuando las cantidades son iguales.

Trampas frecuentes

• Aplicar directa donde es inversa, o al revés. El distractor principal.
• Magnitudes que no son proporcionales: no toda relación entre dos cantidades lo es.
• Cambios de unidad entre datos y pregunta.
• El reparto inverso, que exige invertir las partes antes de repartir.
• Promediar razones: velocidades, precios por kilo o rendimientos exigen media ponderada.
• Escalar áreas y volúmenes linealmente: al doblar la escala el área se cuadruplica.
• Perder la comprobación de sentido: un resultado que va en dirección contraria está mal sin necesidad de revisar la operación.

Cómo practicar

Con un ejercicio concreto: coger veinte enunciados y clasificarlos solo en directa, inversa o «no proporcional», sin resolverlos. Aísla la habilidad decisiva y permite trabajar cuatro veces más casos en el mismo tiempo. La tercera casilla es imprescindible: sin ella, el ejercicio refuerza el automatismo que describieron De Bock y sus colegas, elegir entre dos modelos lineales cuando el problema pedía salirse de ellos.

En cuanto a ritmo, la aptitudinal da 26,25 segundos por ítem de media y uno de proporcionalidad simple debería quedar en veinte. La regla de tres compuesta y los repartos inversos son más caros: si a los cuarenta segundos no tienes el planteamiento, marca y sigue. Trabaja el formato junto a los problemas aritméticos y al cálculo mental.

Preguntas frecuentes

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